Юрий Александрович рано остался без отца, его воспитанием занималась мама, работавшая кассиром в Северном государственном морском пароходстве. Именно она повлияла на выбор будущей профессии сына. В 13 лет Юрию Будиеву пришлось оставить учёбу и стать опорой для семьи.
В 1942 году он был зачислен в Архангельскую школу юнг. В его классе в основном учились ребята из Ленинграда, архангельских подростков было всего восемь. Вместе с однокурсниками Юрий Александрович обслуживал суда, помогал разгружать корабли, перевозить грузы по Северному морскому пути. В годы войны он был наводчиком зенитной пушки «Бофорс» и неоднократно отражал налёты фашистской авиации при проводке судов по Белому морю.
После войны Юрий Будиев связал свою жизнь с морем. Он получил профессию машиниста 1-го класса, работал на судах Северного морского пароходства, заочно окончил морское учебное заведение и служил старшим механиком. Более полувека Юрий Александрович отдал флоту, а затем был назначен начальником морского вокзала, где продолжал трудиться долгие годы.
Губернатор Архангельской области Александр Цыбульский отметил личный вклад ветерана и его значение для региона:
— Мне посчастливилось быть лично знакомым с этим замечательным человеком. Вечная благодарность за всё, что Юрий Александрович сделал для нас, для страны. Светлая память, — отметил глава региона.
Память о Юрии Александровиче Будиеве навсегда сохранится в истории Архангельской области и морского Севера.