Анатолий Бронников родился 18 июля 1953 года в посёлке Кега Приморского района Архангельской области. В 1975 году окончил лесотехнический институт имени Куйбышева, в 1995 году — Российскую академию государственной службы при президенте Российской Федерации. После окончания института работал на Исакогорской лесобазе, в Исакогорском райисполкоме, Исакогорском Совете народных депутатов, Архангельском городском Совете народных депутатов.
Первым главой администрации Архангельска Анатолий Аверьянович стал 11 ноября 1991 года. Его кандидатура была предложена губернатором Павлом Балакшином и поддержана городским Советом народных депутатов. В 1993 году Анатолия Аверьяновича пригласили на работу в управление Федерального казначейства по Архангельской области на должность заместителя руководителя, где он проработал 25 лет.
Анатолий Аверьянович награжден нагрудным знаком «Отличник финансовой работы», памятной ведомственной медалью «20 лет Федеральному казначейству», почётным знаком «300 лет Российскому флоту».
Администрация города Архангельска и министерство финансов Архангельской области выражают глубокие соболезнования родным и близким Анатолия Аверьяновича, коллективу управления Федерального казначейства по Архангельской области и НАО.
Прощание с Анатолием Бронниковым состоится 27 августа с 11:00 до 12:00 в Доме народного творчества по адресу: площадь Ленина, 1